Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Lotto 6aus49: 13,98 Millionen Kombinationen und alle 9 Gewinnklassen

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto 6aus49 lässt sich mathematisch exakt berechnen – und das Ergebnis ist ernüchternd: Der Jackpot trifft statistisch einmal in rund 140 Millionen Versuchen ein. Diese Seite erklärt die zugrunde liegende Kombinationsformel und listet die genauen Chancen für alle neun Gewinnklassen auf.

Die Grundformel: alle Kombinationen zählen

Beim Lotto werden 6 Zahlen aus einem Pool von 49 gezogen, ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl aller möglichen Kombinationen berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten:

$$C(49,6) = \frac{49!}{6! \times 43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13.983.816$$

Es gibt also genau 13.983.816 verschiedene Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 zu wählen.

Hinzu kommt die Superzahl: eine Ziffer von 0 bis 9 (10 mögliche Werte). Damit ergibt sich die Gesamtzahl eindeutiger Spielkombinationen:

13.983.816 × 10 = 139.838.160

Quelle: Kombinatorik (exakt berechenbar, keine Schätzung)

Gewinnwahrscheinlichkeit aller 9 Gewinnklassen

Die folgende Tabelle zeigt die mathematisch berechneten Gewinnwahrscheinlichkeiten für alle neun Klassen. Alle Werte sind exakt abgeleitet – nicht gerundet oder geschätzt.

Alle Werte mathematisch exakt berechnet via Kombinationsformel. Keine historischen Häufigkeiten.

Die allgemeine Formel für jede Klasse

Der Rechenweg unten ist kein Sonderfall, sondern die Anwendung einer einzigen Formel. Für k getroffene Zahlen gilt:

$$\text{günstige Fälle} = C(6,k) \times C(43,,6-k) \times s$$

Dabei ist C(6,k) die Anzahl der Wege, k der sechs gezogenen Zahlen zu treffen, C(43,6−k) die Anzahl der Wege, die übrigen Felder des Tipps aus den 43 nicht gezogenen Zahlen zu füllen, und s der Superzahl-Faktor: 1, wenn die Superzahl stimmen muss, und 9, wenn sie nicht stimmen darf. Geteilt wird immer durch dieselben 139.838.160 Fälle. Jede Zeile der Tabelle oben entsteht aus dieser Formel mit anderen Werten für k und s.

Rechenweg am Beispiel: Klasse 6 (4 Richtige)

Als Beispiel für den Rechenweg: Klasse 6 erfordert genau 4 der 6 richtigen Zahlen plus eine falsche Superzahl.

1. Anzahl Wege, 4 von 6 richtigen Zahlen zu treffen: C(6,4) = 15
2. Anzahl Wege, die restlichen 2 aus den 43 falschen Zahlen zu ziehen: C(43,2) = 903
3. Falsche Superzahlen: 9 (alle außer der richtigen)
4. Günstige Fälle: 15 × 903 × 9 = 121.905
5. Wahrscheinlichkeit: 121.905 / 139.838.160 ≈ 1 zu 1.147

Dasselbe Verfahren gilt für alle anderen Klassen. Die Superzahl verdoppelt dabei das Verhältnis, da man bei jeder Klasse unterscheidet, ob die Superzahl getroffen wurde (×1) oder nicht (×9).

Gegenprobe: die Summe muss 139.838.160 ergeben

Eine Tabelle mit neun Wahrscheinlichkeiten lässt sich nachprüfen, ohne einer Quelle vertrauen zu müssen. Addiert man die günstigen Fälle aller neun Klassen, ergibt das 4.457.390. Bleibt die Rechnung konsistent, muss der Rest genau den Tipps ohne Gewinn entsprechen: 139.838.160 − 4.457.390 = 135.380.770.

Daraus folgen zwei Zahlen, die in keiner Gewinnklasse stehen:

• Die Chance, überhaupt irgendetwas zu gewinnen, liegt bei 4.457.390 zu 139.838.160, also rund 1 zu 31.
• In 96,81 Prozent aller Fälle fällt ein Tipp in keine Gewinnklasse.

Wer die Tabelle nachrechnen will, findet die Herleitung in tools/derive-probabilities.py; die Summenprobe ist dort Teil der Ausgabe.

Was diese Zahlen bedeuten

Aus derselben Verteilung folgt eine Kennzahl, die sich leichter merken lässt als neun Brüche: die erwartete Trefferzahl pro Tipp. Sie beträgt 6 × 6 / 49 = 0,73 Richtige. Ein durchschnittlicher Tipp trifft also nicht einmal eine der gezogenen Zahlen. In 43,6 Prozent der Fälle stimmt keine einzige Zahl, in 41,3 Prozent genau eine, in 13,2 Prozent genau zwei – diese drei Fälle machen zusammen über 98 Prozent aller Tipps aus.

Die häufigste Gewinnklasse ist Klasse 8 (3 Richtige): statistisch trifft sie etwa jede 63. gespielte Kombination. Das klingt nicht schlecht – aber die Gewinnauszahlung in dieser Klasse ist gering.

Die Jackpot-Wahrscheinlichkeit von 1 zu 139.838.160 bedeutet konkret: Wenn man jede Woche zweimal einen Tipp abgibt, entspricht das 104 Tipps pro Jahr. Um statistisch einmal den Jackpot zu erwarten, müsste man über 1,3 Millionen Jahre spielen.

Das ist kein Argument gegen das Spielen – aber ein klares Argument gegen die Vorstellung, durch Systeme, Strategien oder Zahlenanalyse die Chancen zu verbessern. Die Wahrscheinlichkeit pro Kombination ist unveränderlich.

Warum Klasse 9 seltener ist als Klasse 8

Die Klassen sind nach Trefferzahl geordnet, nicht nach Wahrscheinlichkeit – und an einer Stelle fällt beides auseinander. Klasse 8 (3 Richtige, falsche Superzahl) trifft etwa jeden 63. Tipp, Klasse 9 (2 Richtige, richtige Superzahl) nur jeden 76. Die niedrigere Klasse ist also die seltenere.

Der Grund steckt im Faktor s. Zwei Richtige sind für sich häufiger als drei: C(6,2) × C(43,4) = 15 × 123.410 = 1.851.150 gegenüber C(6,3) × C(43,3) = 20 × 12.341 = 246.820. Aber Klasse 9 verlangt zusätzlich die richtige Superzahl (s = 1), Klasse 8 lässt neun von zehn Superzahlen zu (s = 9). Der Faktor 9 auf der Seite der Dreier ist größer als der Faktor 7,5, um den Zweier häufiger sind – und dreht die Reihenfolge um.

Dasselbe Muster erklärt, warum die Superzahl die Trefferklassen paarweise auffächert: jede Trefferzahl erscheint zweimal in der Tabelle, einmal mit Faktor 1 und einmal mit Faktor 9, und die beiden Werte liegen immer um genau den Faktor 9 auseinander.

Mehr Scheine = mehr Chancen?

Technisch ja: Wer statt einem Tipp zehn spielt, hat zehn von 139.838.160 Kombinationen abgedeckt und damit eine zehnmal höhere absolute Chance. Aber auch zehnmal höhere Kosten. Die Rendite pro eingesetztem Euro ändert sich dadurch nicht.

Der Grenzfall macht das anschaulich. Wer alle 13.983.816 Zahlenkombinationen abdeckt, hat sechs Richtige garantiert – aber nicht den Jackpot: die Superzahl ist auf jedem dieser Scheine nur mit Wahrscheinlichkeit 1/10 die richtige. Für eine Garantie in Klasse 1 müsste jede Kombination mit jeder der zehn Superzahlen gespielt werden, also 139.838.160 Tipps. Und selbst dann steht der Gewinn nicht fest: die Quoten werden unter allen Gewinnern derselben Klasse geteilt.

Spielsysteme – also Systemscheine, die mehrere Kombinationen auf einmal abdecken – folgen demselben Prinzip. Sie erhöhen den Einsatz proportional zur Anzahl der gespielten Kombinationen. Details dazu in unserem Artikel über Spielsysteme.