Gewinnwahrscheinlichkeit beim Eurojackpot: 5 Hauptzahlen, 2 Eurozahlen und alle 12 Gewinnklassen

Der Eurojackpot ist ein europaweites Lottospiel mit Ziehungen zweimal wöchentlich. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten lassen sich – wie beim deutschen Lotto 6aus49 – mathematisch exakt berechnen. Diese Seite erklärt die Formel, listet alle 12 Gewinnklassen auf und stellt die Chancen dem 6aus49 gegenüber.

Die Grundformel: 5 Hauptzahlen und 2 Eurozahlen

Beim Eurojackpot wählt man 5 Hauptzahlen aus dem Bereich 1–50 und 2 Eurozahlen aus dem Bereich 1–12. Die Gesamtzahl möglicher Kombinationen berechnet sich durch getrennte Berechnung und anschließende Multiplikation:

Hauptzahlen: C(50,5) = 50! / (5! × 45!) = 2.118.760

Eurozahlen: C(12,2) = 12! / (2! × 10!) = 66

Gesamt: 2.118.760 × 66 = 139.838.160

Quelle: Kombinatorik (exakt berechenbar)

Diese Zahl ist exakt dieselbe wie beim Lotto 6aus49 mit Superzahl: 13.983.816 × 10 = 139.838.160. Zwei völlig verschiedene Spielformate landen also auf demselben Wert – zwei Ziehungen aus zwei Töpfen einerseits, eine Ziehung plus eine Losziffer andererseits. Nachprüfbar ist die Gleichheit; ob sie beabsichtigt war, lässt sich aus den Spielregeln nicht ablesen.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit der 12 Gewinnklassen

Aus den beiden Töpfen folgt die allgemeine Formel für jede Klasse. Für h richtige Hauptzahlen und e richtige Eurozahlen gilt:

$$C(5,h) \times C(45,,5-h) \times C(2,e) \times C(10,,2-e)$$

Die ersten beiden Faktoren zählen, auf wie viele Weisen der Tipp h der fünf gezogenen Hauptzahlen und die restlichen Felder aus den 45 nicht gezogenen trifft; die beiden hinteren machen dasselbe für die Eurozahlen. Am Beispiel der häufigsten Klasse, 2 Hauptzahlen und 1 Eurozahl:

$$C(5,2) \times C(45,3) \times C(2,1) \times C(10,1) = 10 \times 14.190 \times 2 \times 10 = 2.838.000$$

Geteilt durch 139.838.160 ergibt das 1 zu 49,27. Jede Zeile der folgenden Tabelle entsteht aus dieser Formel mit anderen Werten für h und e.

Wahrscheinlichkeiten mathematisch aus der Kombinationsformel abgeleitet. Keine Schätzwerte.

Die häufigste Gewinnklasse ist Klasse 12 (2 Hauptzahlen + 1 Eurozahl, ca. 1 zu 49). Sie trifft statistisch bei jedem 49. Tipp ein.

Warum die Klassennummern nicht der Seltenheit folgen

An zwei Stellen weicht die Nummerierung von der Wahrscheinlichkeit ab, und das ist kein Fehler der Tabelle. Klasse 7 (3 Hauptzahlen + 2 Eurozahlen, 1 zu 14.125) ist seltener als die niedrigere Klasse 6 (4 Hauptzahlen + 0 Eurozahlen, 1 zu 13.811). Und Klasse 8 (2 Hauptzahlen + 2 Eurozahlen, 1 zu 985) ist seltener als die höhere Klasse 9 (3 Hauptzahlen + 1 Eurozahl, 1 zu 706).

Der Grund ist, dass zwei Größen um den Rang konkurrieren. Eine Hauptzahl mehr wiegt anders als eine Eurozahl mehr, weil die Töpfe verschieden groß sind: 5 aus 50 gegen 2 aus 12. Beide Eurozahlen zu treffen liegt bei 1 zu 66, drei Hauptzahlen zu treffen bei 1 zu 214 – die schwerere Anforderung ist die auf der Hauptzahlen-Seite. Verlangt eine Klasse beide Eurozahlen und dafür weniger Hauptzahlen, kann sie deshalb seltener sein als eine Klasse mit niedrigerer Nummer.

Gegenprobe und die Klassen, die es nicht gibt

Die Summe der günstigen Fälle aller zwölf Klassen beträgt 4.393.191. Davon abgeleitet: die Chance, überhaupt in eine Gewinnklasse zu fallen, liegt bei rund 1 zu 32, und 96,86 Prozent aller Tipps gewinnen nichts.

Von den 18 kombinatorisch möglichen Paaren aus h und e sind nur zwölf Gewinnklassen. Die sechs ausgelassenen sind genau die häufigen: null oder eine Hauptzahl ohne beide Eurozahlen deckt allein schon rund 80 Prozent aller Tipps ab. Am unteren Rand entscheidet dabei die Eurozahl: 1 Hauptzahl + 2 Eurozahlen ist eine Klasse (1 zu 188), 2 Hauptzahlen ohne Eurozahl mit 4,57 Prozent aller Tipps dagegen nicht.

Die erwartete Trefferzahl pro Tipp folgt aus derselben Verteilung: 5 × 5 / 50 = 0,5 Hauptzahlen und 2 × 2 / 12 = 0,33 Eurozahlen. Ein durchschnittlicher Tipp trifft also weniger als eine Zahl in jedem der beiden Töpfe.

Vergleich mit Lotto 6aus49

Bei gleicher Jackpot-Wahrscheinlichkeit unterscheiden sich die Spiele im unteren Bereich messbar. Der Eurojackpot verteilt 12 Klassen über dieselben 139.838.160 Fälle, das 6aus49 nur 9. Seine häufigste Klasse trifft jeden 49. Tipp, die häufigste 6aus49-Klasse jeden 63. In der Summe aller Klassen liegen beide dennoch dicht beieinander: 3,14 Prozent gegenüber 3,19 Prozent aller Tipps. Der Eurojackpot schüttet also nicht öfter aus, sondern fächert dieselbe Gesamtquote feiner auf.

Ausschüttungssystem

Der Eurojackpot verwendet wie das deutsche Lotto ein pari-mutuelles System: Die Gewinne werden nicht als feste Beträge ausbezahlt, sondern sind abhängig vom Preispool der jeweiligen Ziehung und der Anzahl der Gewinner je Klasse. Aktuelle Quoten je Ziehung veröffentlicht der Eurojackpot-Veranstalter.

Wer Zahlen für einen Eurojackpot-Tipp wählen möchte, kann den Zufallszahlengenerator nutzen, der Zufallskombinationen sowohl für 6aus49 als auch für Eurojackpot erzeugt.